Question

已知集合M_D是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立．
（Ⅰ） 当D=R时，f（x）=x是否属于M_D？说明理由；
（Ⅱ） 当D=[0，+∞）时，函数属于M_D，求k的取值范围；
（Ⅲ） 现有函数f（x）=sinx，是否存在函数g（x）=kx+b（k≠0），使得下列条件同时成立：
①函数g（x）∈M_D；
②方程g（x）=0的根t也是方程f（x）=0的根，且g（f（t））=f（g（t））；
③方程f（g（x））=g（f（x））在区间[0，2π）上有且仅有一解．若存在，求出满足条件的k和b；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）属于M_D．
事实上，对任意x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁-x₂|≤2|x₁-x₂|，
故可取常数k=2满足题意，因此f（x）∈M_D．
（Ⅱ）∵在[0，+∞）为增函数
∴对任意x₁，x₂∈[0，+∞）有=
（当x₁=0，x₂→0时取到），所以，此即为所求．
（Ⅲ）存在．
事实上，由（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）属于M_D．
∵t是g（x）=0的根∴，
又f（g（t））=g（f（t）），∴f（0）=g（0），∴b=0，∴g（x）=kx
若k符合题意，则-k也符合题意，故以下仅考虑k＞0的情形．
设h（x）=f（g（x））-g（f（x））=sinkx-ksinx，
①若k≥1，则
由，
且，
所以，在中另有一根，矛盾．
②若，
则=sin2kπ-ksin2π＜0，
所以在中另有一根，矛盾．∴．
以下证明，对任意符合题意．
（ⅰ）当时，由y=sinx图象在连接两点（0，0），（x，sinx）的线段的上方知sinkx＞ksinx
∴h（x）＞0．
（ⅱ）当时，．
（ⅲ）当时，sinkx＞0，sinx＜0，∴h（x）＞0．
从而h（x）=0有且仅有一个解x=0，∴g（x）=kx在满足题意．
综上所述：为所求．
分析：（Ⅰ）先求出，|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁-x₂|得到其小于等于2|x₁-x₂|，即可说明其成立．（当然也可以取其它k值）
（Ⅱ）直接对进行整理，根据其取值范围即可得到k的取值范围；
（Ⅲ）先根据（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）属于M_D，再借助于t是g（x）=0的根，以及f（g（t））=g（f（t）），得到g（x）=kx；最后根据k符合题意，则-k也符合题意，只需要借助与第三个要求求出k＞0时对应的范围，再综合即可得到结论．
点评：本题是在新定义下对函数恒成立问题的考查，第三问比较麻烦，建议程度较差的学生直接略过，只须看前两问即可．