Question

如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上且与A，B不重合的一个动点，

OC

=x

OA

+y

OB

，若u=x+λy，（λ＞0）存在最大值，则λ的取值范围为（　　）

• A．(

  1

  2

  ，1)
• B．（1，3）
• C．(

  1

  2

  ，2)
• D．(

  1

  3

  ，3)

Answer 1

分析：设射线OB上存在为B'，使

OB′

=

1

λ

OB

，AB'交OC于C'，结合平面向量基本定理得到

OC

=x

OA

+y

OB

=x

OA

+λy•

1

λ

OB

=x

OA

+λy•

OB′

，设

OC

=t

OC′

，

OC′

=x′

OA

+λy′

OB′

，由A，B'，C'三点共线可知x'+λy'=1，考虑到在弧AB（不包括端点）上存在与AB'平行的切线，加以观察即可得到λ的取值范围．

解答：解：设射线OB上存在为B'，使

OB′

=

1

λ

OB

，AB'交OC于C'，
由于

OC

=x

OA

+y

OB

=x

OA

+λy•

1

λ

OB

=x

OA

+λy•

OB′

，
设

OC

=t

OC′

，

OC′

=x′

OA

+λy′

OB′

，
由A，B'，C'三点共线可知x'+λy'=1，
所以u=x+2y=tx'+t•2y'=t，
则u=

| OC |

| OC′ |

存在最大值，
即在弧AB（不包括端点）上存在与AB'平行的切线，
所以λ∈(

1

2

，2)．
故选C．

点评：本题着重考查了平面向量基本定理、向量的线性运算法则等知识，属于中档题．