Question

已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=时，证明：点P在一定圆上．
（3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率k_QB，k_QC存在且不为0，求证：k_QB•k_QC为定植．

Answer 1

（1）解：∵圆与x轴交点坐标为，，
∴，∴b=3，
∴椭圆方程是：．…（4分）
（2）证明：设点P（x，y），因为F₁（-，0），F₂（，0），
所以=tanβ=，=tanα=，
因为β-α=，所以tan（β-α）=-．
因为tan（β-α）==，所以=-，
化简得x²+y²-2y=3，所以点P在定圆x²+y²-2y=3上．…（10分）
（3）证明：设B（m，n），Q（x′，y′），则C（-m，-n）
∴k_QB•k_QC==
∵，
∴两式相减可得
∴=
∴k_QB•k_QC=…（12分）
分析：（1）求出圆与x轴交点坐标，即可确定椭圆E的方程；
（2）确定tanβ、tanα，利用两角差的正切公式，化简可得结论；
（3）求出直线QB，QC的斜率，利用点在椭圆上，代入作差，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查两角差的正切公式，考查斜率的计算，属于中档题．