对数列{an}.规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列.其中△an=an+1-an(n∈N*),一般地.规定{△kan}为数列{an}的k阶差分数列.其中△kan=△k-1an+1-△k-1an(k∈N*.k≥2)．已知数列{an}的通项公式an=n2+n(n∈N*).则以下结论正确的序号为①④①④．①△an=2n+24, ②数列{△3an}既是等差数列.又是等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）；一般地，规定{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an（k∈N^*，k≥2）．已知数列{a_n}的通项公式an=n2+n（n∈N^*），则以下结论正确的序号为

①④

．
①△a_n=2n+24；
②数列{△³a_n}既是等差数列，又是等比数列；
③数列{△a_n}的前n项之和为an=n2+n；
④{△²a_n}的前2014项之和为4028．

分析：根据△a_n=a_n+1-a_n计算可得①不正确．根据△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，得{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，故对数列{△³a_n}，△³a_n=2-2=0，故②不正确．
计算数列{△a_n}的前n项之和的值，可得③不正确．根据{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，求得{△²a_n}的前2014项之和的值，可得④正确．

解答：解：由于△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列，△kan=△k-1an+1-△k-1an，an=n2+n．
故△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）-[n²+n]=2n+2，故①不正确．
由于△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，∴{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，故对数列{△³a_n}，△³a_n=2-2=0，故数列{△³a_n}是等差数列，但不是等比数列，故②不正确．
数列{△a_n}的前n项之和为△a₁+△a₂+…+△a_n=a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n+1-a_n=a_n+1-a₁=（n+1）²+（n+1）-[1+1]=n²+3n，故③不正确．
由于△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，∴{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，{△²a_n}的前2014项之和为 2×2014=4028，故④正确．

点评：本小题以新定义为载体主要考查等差数列、等比数列的定义的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法，还考查了把新的定义转化为利用所学知识进行求解的能力．

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8、对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-an（n∈N）．对自然数k，规定{△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（1）已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²+n（n∈N），，试判断{△a_n}，{△²a_n}是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N），求数列{a_n}的通项公式．
（3）（理）对（2）中数列{a_n}，是否存在等差数列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=a_n对一切自然n∈N都成立？若存在，求数列{b_n}的通项公式；若不存在，则请说明理由．

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对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）；一般地，规定{△^ka_n} 为数列{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n（k∈N^*，k≥2）．已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²+n（n∈N^*），则以下结论正确的序号为

①④

．
①△a_n=2n+2；
②数列{△³a_n}既是等差数列，又是等比数列；
③数列{△a_n}的前n项之和为a_n=n²+n；
④{△²a_n}的前2014项之和为4028．

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（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²+n（n∈N^*），是判断{Va_n}是否为等差数列，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足V²a_n-Va_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

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（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式an=n2+n(n∈N*)，试判断{△a_n}，{△²a_n}是否为等差或等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n(n∈N*)，求数列{a_n}的通项公式．

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