Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）以双曲线

x2

3

-y2=1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．
①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；
②若直线MA，MB与直线x=4分别交于点P，Q，求线段PQ长度的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆、双曲线的标准方程及其性质即可得出；
（2）①利用点在椭圆上、斜率计算公式即可证明；
②利用①的结论、斜率计算公式、基本不等式的性质即可求出．

解答：解：（1）易知双曲线

x2

3

-y2=1的焦点为（-2，0），（2，0），离心率为

2

3

，
则在椭圆C中a=2，e=

3

2

，故在椭圆C中c=

3

，b=1，∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）①设M（x₀，y₀）（x₀≠±2），由题易知A（-2，0），B（2，0），则k_MA=

y0

x0+2

，k_MB=

y0

x0-2

，
∴k_MA•k_MB=

y0

x0+2

×

y0

x0-2

=

y 2 0

x 2 0 -4

，
∵点M在椭圆C上，∴

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，即

y

2 0

=1-

x 2 0

4

=-

1

4

(

x

2 0

-4)，故k_MA•k_MB=-

1

4

，即直线MA，MB的斜率之积为定值．    
②设P（4，y₁），Q（4，y₂），则k_MA=k_PA=

y1

6

，k_MB=k_BQ=

y2

2

，
由①得

y1

6

×

y2

2

=-

1

4

，即y₁y₂=-3，当y₁＞0，y₂＜0时，|PQ|=|y₁-y₂|≥2

-y1y2

=2

3

，当且仅当y₁=

3

，y₂=-

3

时等号成立．
同理，当y₁＜0，y₂＞0时，当且仅当y₁=-

3

，y₂=

3

时，|PQ|有最小值2

3

．

点评：数列掌握圆锥曲线的定义、标准方程及其性质、斜率计算公式、基本不等式的性质是解题的关键．善于利用已经证明的结论是常用的方法之一．