Question

已知向量

a

=（2cos

x

2

，1），

b

=（cos

π+x

2

，3cosx），设函数f（x）=（

a

-

b

）•

a

．
（1）若?x∈R，f（x）≤a（a∈R），求a的取值范围；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=4，a=

10

，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式计算，再利用辅助角公式化简函数，可得函数的值域，从而可求a的取值范围；
（2）利用（1）的解析式及f（A）=4，求出A，根据a=

10

，可得b²+c²=10，利用基本不等式，可得ABC的面积S的最大值．

解答：解：（1）由题意，f（x）=（2cos

x

2

+sin

x

2

，1-3cosx）•（2cos

x

2

，1）=sinx-cosx+3=

2

sin（x-

π

4

）+3
∴f（x）≤

2

+3
∵?x∈R，f（x）≤a
∴a≥

2

+3，即a的取值范围为[

2

+3，+∞）；
（2）∵f（A）=4，∴

2

sin（A-

π

4

）+3=4，∴sin（A-

π

4

）=

2

2

∵A∈（0，π），∴A-

π

4

=

π

4

，∴A=

π

2

∵a=

10

，∴b²+c²=10
∴△ABC的面积S=

1

2

bc≤

1

2

×

1

2

（b²+c²）=

5

2

，当且仅当b=c=

5

时等号成立
∴△ABC的面积S的最大值为

5

2

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．