Question

由曲线y=x²和直线x=0，x=1，y=t²，t∈（0，1）所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：由微积分的几何意义并利用微积分公式，算出阴影部分面积S=

4

3

t3-t2+

1

3

，利用导数研究F（t）=

4

3

t3-t2+

1

3

的单调性，可得F（t）的最小值为F（

1

2

）=

1

4

，即得围成的图形面积的最小值．

解答：解：根据题意，可得
S=

∫

t 0

(t2-x2)

dx+∫

1 t

(x2-t2)dx
=（t²x-

1

3

x³）

|

t 0

+（

1

3

x³-t²x）

|

1 t

=

2

3

t3+（

1

3

-t²）-（

1

3

t3-t³）=

4

3

t3-t2+

1

3

记F（t）=

4

3

t3-t2+

1

3

，可得F'（t）=4t²-2t=2t（2t-1）
∵当x∈（0，

1

2

）时，F'（t）＜0，当x∈（

1

2

，1）时，F'（t）＞0
∴F（t）在（0，

1

2

）上为减函数；在（

1

2

，1）上为增函数
因此，F（t）的最小值为F（

1

2

）=

4

3

•

1

8

-

1

4

+

1

3

=

1

4

，即围成的图形面积的最小值为

1

4

故选：A

点评：本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，求面积的最小值．着重考查了定积分的几何意义、积分计算公式和利用导数研究函数的单调性等知识，属于基础题．