抛物线C的方程为,过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同),且满足.
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足,证明线段PM的中点在y轴上;
(Ⅲ)当=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
(Ⅰ)由抛物线的方程()得,焦点坐标为,准线方程为.
(Ⅱ)证明:设直线的方程为,直线的方程为.
点和点的坐标是方程组的解.将②式代入①式得,于是,故 ③
又点和点的坐标是方程组的解.将⑤式代入④式得.于是,故.
由已知得,,则. ⑥
设点的坐标为,由,则.
将③式和⑥式代入上式得,即.
∴线段的中点在轴上.
(Ⅲ)因为点在抛物线上,所以,抛物线方程为.
由③式知,代入得.
将代入⑥式得,代入得.
因此,直线、分别与抛物线的交点、的坐标为
,.
于是,,
.
因为钝角且、、三点互不相同,故必有.
求得的取值范围是或.又点的纵坐标满足,故当时,;当时,.即
将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程,用韦达定理来求解. 点评:解析几何解题思维方法比较简单,但对运算能力的要求比较高,平时练习要注意提高自己的运算能力.
科目:高中数学 来源:福建福州八中2009年元月高三调研考试试卷(数学文) 题型:013
已知抛物线C的方程为,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(05年天津卷)(14分)
抛物线C的方程为,过抛物线C上一点 ()作斜率为的两条直线分别交抛物线C于,两点(P、A、B三点互不相同),且满足(≠0且)。
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程
(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足,证明线段PM的中点在y轴上
(Ⅲ)当时,若点P的坐标为(1,1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围。
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科目:高中数学 来源: 题型:
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足,证明线段PM的中点在y轴上;
(Ⅲ)当=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
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科目:高中数学 来源:专项题 题型:单选题
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