Question

18．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ（λ≠0），其中左准线方程为x=-$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
（1）求λ的值及左右两焦点F₁，F₂的坐标；
（2）设M是双曲线C上一点，且|OM|=$2\sqrt{2}$，F₁，F₂是椭圆E的两个顶点，并且椭圆E过点M，求椭圆E的标准方程．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的准线方程，求出λ的值，继而求出双曲线的方程，得到焦点坐标，
（2）M（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1}\\{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=（2\sqrt{2}）^{2}}\end{array}\right.$，求出M的坐标，分情况讨论，椭圆的焦点在x轴上，还是y轴上，设出椭圆的标准方程，解得即可．

解答 解：（1）双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ（λ≠0），左准线方程为x=-$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴a²=4λ，b²=λ，
∴c²=4λ+λ=5λ，即c=$\sqrt{5λ}$，
∴-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{4λ}{\sqrt{5λ}}$=-$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
解得λ=2，
∴c²=10，即c=$\sqrt{10}$，
∴左右两焦点F₁，F₂的坐标分别为（-$\sqrt{10}$，0），（$\sqrt{10}$，0）；
（2）由（1）知曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
设M（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1}\\{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=（2\sqrt{2}）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}=8}\\{{y}_{0}=0}\end{array}\right.$，
M的坐标为（2$\sqrt{2}$，0），或为（-2$\sqrt{2}$，0）
当椭圆的焦点在x轴上时，此时a=$\sqrt{10}$＞2$\sqrt{2}$，故M点不在椭圆上，这与题设相矛盾，
故椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准，$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$，
∵椭圆E过点M，
∴$\frac{8}{{b}^{2}}$=1，即b²=8，
∴椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1．

点评 本题考查了双曲线集合椭圆的标准方程，以及双曲线的准线方程，以及点与点的距离，属于中档题．