Question

已知f(x)=lnx，g(x)=

3

2

-

a

x

，(a∈R)
①若方程e^2f（x）=g（x）在区间[

1

2

，1]上有解，求a的取值范围；
②若函数h(x)=

1

2

x2-ax+(a-1)f(x)(a≥1)，讨论函数h（x）的单调性．

Answer 1

分析：①由条件分离参数，可转化为a=

3

2

x-x3在x∈[

1

2

，1]上有解，利用导数法求出函数的值域，即可得到结论；
②求导函数，比较根的大小，即可分类讨论，得到函数的单调性．

解答：解：①由由已知，x2=

3

2

-

a

x

在x∈[

1

2

，1]上有解，

a

x

=

3

2

-x2在x∈[

1

2

，1]上有解
∴a=

3

2

x-x3在x∈[

1

2

，1]上有解，
令p(x)=

3

2

x-x3，x∈[

1

2

，1]则 p′(x)=

3

2

-3x2=-3(x+

2

2

)(x-

2

2

)，
∴函数p（x）在（

1

2

，

2

2

）上单调递增，在（

2

2

，1）上单调递减
∴p(x)max=p(

2

2

)=

2

2

∵p(

1

2

)=

5

8

，p(1)= 1 2

，∴p(x)min=p(1)=

1

2

∴a∈[

1

2

，

2

2

]…（6分）
②h′(x)=

[x-(a-1)](x-1)

x

，x∈（0，+∞）
（1）a=1时，递减区间（0，1），递增区间（1，+∞）；
（2）1＜a＜2时，递增区间（0，a-1），（1，+∞），递减区间（a-1，1）；
（3）a=2时，递增区间（0，+∞）；
（4）a＞2时，递增区间(0，1)，

(a-1，+∞)

，递减区间　（1，a-1）…（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．