Question

双曲线x²-y²=2010的左、右顶点分别为A₁、A₂，P为其右支上的一点，且∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂，则∠PA₁A₂等于（　　）

• A、无法确定
• B、

  π

  12

• C、

  π

  18

• D、

  π

  36

Answer 1

分析：设a²=2010，根据题意可表示A₁，A₂坐标，设出P坐标，则可分别表示出PA₁和PA₂的斜率，二者乘求得

y 2

x2-a2

，根据双曲线方程可知

y 2

x2-a2

=1，进而可推断出-tan∠PA₁A₂tan∠PA₂A₁=1．从而tan∠PA₁A₂tan（5∠PA₁A₂）=1
最后得出5∠PA₁A₂=

π

2

-∠PA₁A₂即可求得∠PA₁A₂．

解答：解：设a²=2010，
A₁（-a，0），A₂（a，0），P（x，y），
k_PA1=tan∠PA₁A₂=

y

x+a

，①
k_PA2=-tan∠PA₂A₁=

y

x-a

，②
由x²-y²=a²得

y 2

x2-a2

=1，
①×②，得-tan∠PA₁A₂tan∠PA₂A₁=1，
∴tan∠PA₁A₂tan（5∠PA₁A₂）=1
即tan（5∠PA₁A₂）=tan（

π

2

-∠PA₁A₂）
∴5∠PA₁A₂=

π

2

-∠PA₁A₂
∴∠PA₁A₂=

π

12

故选B．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，解析几何的基础知识．题中灵活的利用了双曲线的方程．