Question

已知以下三条曲线：

x2

a2

+

y2

b2

=1，

x2

a2

-

y2

b2

=1，

y2

b2

-

x2

a2

=1（a＞b＞0）的离心率分别为e₁，e₂，e₃，对e₁，e₂，e₃给出下列四个命题：（1）e₁e₂＜1；（2）e₂＞e₃；（3）

1

e22

+

1

e32

=1；（4）e22+e32＞4．其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：由题设条件，利用椭圆、双曲线的性质推导出e1=

a2-b2

a

，e2=

a2+b2

a

，e3=

a2+b2

b

，由此进行运算，能求出结果．

解答：解：∵

x2

a2

+

y2

b2

=1，

x2

a2

-

y2

b2

=1，

y2

b2

-

x2

a2

=1（a＞b＞0）的离心率分别为e₁，e₂，e₃，
∴e1=

a2-b2

a

，e2=

a2+b2

a

，e3=

a2+b2

b

，
∴e₁e₂=

a2-b2

a

×

a2+b2

a

=

a4-b4

a2

=

1-( b a )4

＜1，
即（1）正确；
∵a＞b，∴e2=

a2+b2

a

＜e3=

a2+b2

b

，即（2）错误；

1

e22

+

1

e32

=

a2

a2+b2

+

b2

a2+b2

=1，即（3）正确；
e22+e32=

a2+b2

a2

+

a2+b2

b2

=

a2b2+b4+a4+a2b2

a2b2

=2+

a4+b4

a2b2

≥4，即（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．

点评：本题考查椭圆、双曲线的简单性质的应用，是基础题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．