Question

16．已知点P为圆x²+y²=4上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q（P与Q不重合），M为线段PQ中点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）直线y=kx交（1）中轨迹C于A，B两点，当直线MA，MB斜率K_MA，K_MB都存在时，求证：K_MA•K_MB为定值．

Answer 1

分析 （1）设点M坐标为（x，y），则点P坐标为（x，2y），点Q坐标为（x，0），因为点P在圆上，代入求解即可．
（2）设A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），再设M坐标为（x，y），求出直线MA，MB斜率K_MA，K_MB，利用${K_{MA}}•{K_{MB}}=\frac{{{y^2}-{y_0}^2}}{{{x^2}-{x_0}^2}}$，点M，A在椭圆C上，所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ \frac{{{x_0}^2}}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，利用平方差法转化求解即可．

解答 解：（1）设点M坐标为（x，y），则点P坐标为（x，2y），点Q坐标为（x，0），因为点P在圆上，
所以x²+4y²=4，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
又P与Q不重合，所以y≠0，点M的轨迹C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1（{y≠0}）$；
（2）证明：因为直线y=kx过原点，所以A，B两点关于原点对称，不妨设其坐标为A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），再设M坐标为（x，y），则直线MA，MB斜率K_MA，K_MB分别为${K_{MA}}=\frac{{y-{y_0}}}{{x-{x_0}}}$，${K_{MB}}=\frac{{y+{y_0}}}{{x+{x_0}}}$，所以${K_{MA}}•{K_{MB}}=\frac{{{y^2}-{y_0}^2}}{{{x^2}-{x_0}^2}}$，
因为点M，A在椭圆C上，所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ \frac{{{x_0}^2}}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，
相减得$\frac{{{x^2}-{x_0}^2}}{4}+{y^2}-{y_0}^2=0$，整理得$\frac{{{y^2}-{y_0}^2}}{{{x^2}-{x_0}^2}}=-\frac{1}{4}$，即${K_{MA}}•{K_{MB}}=-\frac{1}{4}$，
所以K_MA•K_MB为定值，得证．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，平方差法的应用，考查转化思想以及计算能力．