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16.已知点P为圆x2+y2=4上一动点,过点P作x轴的垂线,垂足为Q(P与Q不重合),M为线段PQ中点.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)直线y=kx交(1)中轨迹C于A,B两点,当直线MA,MB斜率KMA,KMB都存在时,求证:KMA•KMB为定值.

分析 (1)设点M坐标为(x,y),则点P坐标为(x,2y),点Q坐标为(x,0),因为点P在圆上,代入求解即可.
(2)设A(x0,y0),B(-x0,-y0),再设M坐标为(x,y),求出直线MA,MB斜率KMA,KMB,利用${K_{MA}}•{K_{MB}}=\frac{{{y^2}-{y_0}^2}}{{{x^2}-{x_0}^2}}$,点M,A在椭圆C上,所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ \frac{{{x_0}^2}}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$,利用平方差法转化求解即可.

解答 解:(1)设点M坐标为(x,y),则点P坐标为(x,2y),点Q坐标为(x,0),因为点P在圆上,
所以x2+4y2=4,即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$,
又P与Q不重合,所以y≠0,点M的轨迹C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1({y≠0})$;
(2)证明:因为直线y=kx过原点,所以A,B两点关于原点对称,不妨设其坐标为A(x0,y0),B(-x0,-y0),再设M坐标为(x,y),则直线MA,MB斜率KMA,KMB分别为${K_{MA}}=\frac{{y-{y_0}}}{{x-{x_0}}}$,${K_{MB}}=\frac{{y+{y_0}}}{{x+{x_0}}}$,所以${K_{MA}}•{K_{MB}}=\frac{{{y^2}-{y_0}^2}}{{{x^2}-{x_0}^2}}$,
因为点M,A在椭圆C上,所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ \frac{{{x_0}^2}}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$,
相减得$\frac{{{x^2}-{x_0}^2}}{4}+{y^2}-{y_0}^2=0$,整理得$\frac{{{y^2}-{y_0}^2}}{{{x^2}-{x_0}^2}}=-\frac{1}{4}$,即${K_{MA}}•{K_{MB}}=-\frac{1}{4}$,
所以KMA•KMB为定值,得证.

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,椭圆方程的求法,平方差法的应用,考查转化思想以及计算能力.

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