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(Ⅰ)已知函数,若存在,使得,则称是函数的一个不动点,设二次函数.

(Ⅰ) 当时,求函数的不动点;

(Ⅱ) 若对于任意实数,函数恒有两个不同的不动点,求实数的取值范围;

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,若函数的图象上两点的横坐标是函数的不动点,且直线是线段的垂直平分线,求实数的取值范围.

 

【答案】

(Ⅰ)函数的不动点为 。

(Ⅱ) 

(Ⅲ)实数的取值范围.

【解析】

试题分析:

思路分析:(Ⅰ) 解方程确定函数的不动点为 。

(Ⅱ)由题意,得到方程恒有两个不相等的实数根,

根据判别式,解得 

(Ⅲ)设函数的两个不同的不动点为得到,

的两个不等实根, 得到

直至中点坐标为。根据

,且在直线上得到a,b的关系。

解:(Ⅰ) 当时,

,得

所以函数的不动点为 。

(Ⅱ)因为 对于任意实数,函数恒有两个不同的不动点,

所以,对于任意实数,方程恒有两个不相等的实数根,

即方程恒有两个不相等的实数根,

所以 

即  对于任意实数

所以   ,解得   

(Ⅲ)设函数的两个不同的不动点为,则,

的两个不等实根, 所以

直线的斜率为1,线段中点坐标为

因为 直线是线段的垂直平分线,

所以 ,且在直线

则        

所以  当且仅当时等号成立

     所以 实数的取值范围.

考点:新定义问题,均值定理的应用,一元二次方程根的研究。

点评:难题,本题给出“不动点”的概念,解题过程中,应注意理解并应用这一概念。将问题转化成一元二次方程问题,结合直线方程,应用均值定理,达到解题目的。

 

练习册系列答案
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(2013•蓟县二模)已知函数f(x)=-
1
3
x3+
1
2
(2a+1)x2
-2ax+1,其中a为实数.
(Ⅰ)当a≠
1
2
时,求函数f(x)的极大值点和极小值点;
(Ⅱ) 若对任意a∈(2,3)及x∈[1,3]时,恒有ta2-f(x)>
3
2
成立,求实数t的取值范围.
(Ⅲ)已知g(x)=a2x2+ax+1,m(x)=
4
3
x3-(a2+
3
2
)x2
+(2a+5)x-3,h(x)=f(x)+m(x),设函数q(x)=
g(x),x≥0
h(x),x<0.
是否存在a,对任意给定的非零实数x1,存在惟一的非零实数x2(x2≠x1),使得q′(x2)=q′(x1)成立?若存在,求a的值;若不存,请说明理由.

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090423

 
已知函数

其中

   (I)设函数.若在区间上不单调,求的取值范围;

   (II)设函数  是否存在,对任意给定的非零实数,存在惟一

的非零实数),使得成立?若存在,求的值;若不存

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,使得成立,则实数a的取值范围是             

 

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已知函数是定义在上的奇函数,并且在上是减函数.是否存

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说明理由.

 

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(本小题满分12分)

已知函数为实数)有极值,且在处的切线与直线平行.

(I)求实数a的取值范围;

(II)是否存在实数a,使得函数的极小值为1,若存在,求出实数a的值;若不存

在,请说明理由;

(Ⅲ)设

求证:.

 

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