Question

【题目】已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】0＜a＜4
【解析】解：构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3+x，则函数是奇函数，在R上单调递增，

f（x2+a）+f（ax）＞2，等价于g（x2+a）+g（ax）＞0，

∴x2+a＞﹣ax，

∴x2+ax+a＞0，

∴△=a2﹣4a＜0

∴0＜a＜4，

所以答案是0＜a＜4．

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．