Question

18．设数列{a_n}是前n项和S_n=$\frac{1}{2}$a_n-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁•a₂；
（Ⅱ）求证：数列{a_n}为等比数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的递推关系即可求a₁•a₂；
（Ⅱ）根据等比数列的定义即可证明数列{a_n}为等比数列．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=$\frac{1}{2}$a_n-1，
∴当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$a₁-1，得a₁=-2，
当n=2时，S₂=$\frac{1}{2}$a₂-1，
即a₁+a₂=$\frac{1}{2}$a₂-1，
即$\frac{1}{2}$a₂=-1-a₁=-1-（-2）=1，
则a₂=2，
则a₁•a₂=-2×2=-4．
（Ⅱ）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-1-（$\frac{1}{2}$a_n-1-1）=$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n-1，
即$\frac{1}{2}$a_n=-$\frac{1}{2}$a_n-1，
则a_n=-a_n-1，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=-1，
即数列{a_n}为公比q=-1的等比数列．

点评 本题主要考查等比数列的证明，利用数列的递推关系是解决本题的关键．