Question

如图，边长为2的正方形ABCD垂直于△ABE所在的平面，且AE=1，BE=

3

（1）求证：平面ADE⊥平面BCE；
（2）设线段EC的中点为F，求二面角A-FB-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由AE=1，BE=

3

，AB=2，知∠AEB=

π

2

，再由正方形ABCD⊥平面ABE，AD⊥AB，平面ABCD∩平面ABE=AB，能够证明平面ADE⊥平面BCE．
（2）以A为原点，AB、AD分别为y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能够求出二面角A-FB-E的余弦值．

解答：（本题满分12分）
（1）证明：∵AE=1，BE=

3

，AB=2，∴∠AEB=

π

2

，
又正方形ABCD⊥平面ABE，AD⊥AB，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴AD⊥平面ABE，
∴AD⊥BE∴BE⊥平面ADE，∴BE?平面BCE，
∴平面ADE⊥平面BCE．…（6分）
（2）解：以A为原点，AB、AD分别为y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则B（0，2，0），C（0，2，2），E（

3

2

，

1

2

，0），F（

3

4

，

5

4

，1），
∴

AB

=(0，2，0)，

AF

=(

3

4

，

5

4

，1)，

AE

=(

3

2

，

1

2

，0)，
设平面ABF的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

2y=0 3 4 x+ 5 4 y+z=0

，取

n

=(1，0，-

3

4

)，
而平面BEF的法向量为

AE

=(

3

2

，

1

2

，0)，
∴cos＜

AE

，

n

＞=

3 2

1+ 3 16

=

2 57

19

，
结合图形知，二面角A-FB-E的余弦值为

2 57

19

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．