Question

4．已知椭圆C：4x²+y²=16
（1）求椭圆C的长轴长和短轴长    
（2）求椭圆C的焦点坐标和离心率
（3）直线l：y=-2x+4与椭圆C相交于A，B两点，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）化简可得$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，从而可得a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$；从而写出椭圆C的长轴长和短轴长；
（2）由（1知写出椭圆C的焦点坐标和离心率；
（3）联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，从而可解出A（0，4），B（2，0），从而求AB的长．

解答 解：（1）∵4x²+y²=16，
∴$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
∴a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$；
∴椭圆C的长轴长为8，短轴长为4；
（2）由（1知，
椭圆C的焦点坐标为（0，-2$\sqrt{3}$），（0，2$\sqrt{3}$）；
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，
消y化简可得，
8x²-16x=0，
故x=0或x=2；
故y=4或y=0；
故A（0，4），B（2，0）；
故|AB|=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程的应用及椭圆与直线的位置关系的应用．