Question

（2013•丽水一模）已知公差不为零的等差数列{a_n}的前10项和S₁₀=55，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足bn=(-1)nan+2n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由已知条件利用等差数列的前n项和公式，等比数列的性质列出方程组求得首项和公差，即得{a_n}的
通项公式．
（Ⅱ）先求出数列{b_n}的通项公式，分n为奇数和n为偶数两种情况，利用分组求和法分别求得{b_n}的前n项
和T_n．

解答：解：（Ⅰ） 由已知得：

10a1+ 10×9d 2 =55 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)

，化简可得

2a1+9d=11 d2-a1d=0

．
因为  d≠0，所以，d=a₁，∴2a₁+9a₁=11，所以 a₁=1，d=1．
所以 a_n=1+（n-1）=n．…（6分）
（Ⅱ）∵bn=(-1)nan+2n，∴bn=

-n+2n(n为奇数) n+2n(n为偶数)

，
∴（ⅰ） 当n为奇数时，Tn= (-1+2)+(-2+22)+(-3+23)+…+（-n+2ⁿ）
=（-1+2）+（-3+4）+（-5+6）+…+（-n）+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=

n-1

2

-n+

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-

n

2

-

5

2

．
（ⅱ） 当n为偶数时，Tn= (-1+2)+(-2+22)+(-3+23)+…+（-n+2ⁿ）
=（-1+2）+（-3+4）+（-5+6）+…+（-n+1+n）+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=2ⁿ⁺¹ +

n

2

-2．
所以，Tn=

2n+1- n 2 - 5 2 (n为奇数) 2n+1+ n 2 -2(n为偶数)

．…（14分）

点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的性质，数列求和，属于中档题．