Question

1．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于$\sqrt{11}$，其俯视图如图所示．
（I）作出该四棱锥的侧视图，注明各线段的长，并计算该侧视图的面积；
（Ⅱ）求这个四棱锥的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得到四棱锥S-ABCD中SA=SB=SC=SD=$\sqrt{11}$，AB=BC=CD=DA=2，取AD中点E，取BC中点F，AC∩BD=O，连结SE、SF、SO，则$SE=SF=\sqrt{11-1}$=$\sqrt{10}$，SO=$\sqrt{10-1}$=3，从而得到该四棱锥的侧视图是腰为$\sqrt{10}$，底为2，高为3的等腰三角形，由此能求出侧视图的面积．
（Ⅱ）先求出这个四棱锥的底面积和高，由此能求出这个四棱锥的体积．

解答 解：（Ⅰ）∵四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于$\sqrt{11}$，
其俯视图如右图，
∴该四棱锥为如图所示的四棱锥S-ABCD，
其中SA=SB=SC=SD=$\sqrt{11}$，AB=BC=CD=DA=2，
取AD中点E，取BC中点F，AC∩BD=O，
连结SE、SF、SO，
则$SE=SF=\sqrt{11-1}$=$\sqrt{10}$，SO=$\sqrt{10-1}$=3，
∴该四棱锥的侧视图是腰为$\sqrt{10}$，底为2，高为3的等腰三角形，如下图：

该侧视图的面积S=$\frac{1}{2}×2×3$=3．
（Ⅱ）∵这个四棱锥的底面积S_ABCD=2×2=4，高SO=3，
∴这个四棱锥的体积：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{ABCD}×SO$
=$\frac{1}{3}×4×3$
=4．

点评 本题考查四棱锥的侧视图的作法及侧视图的面积的求法，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．