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    为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2  m的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为 a m，高度为b m，如图所示.已知流出的水中含杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问：当a，b各为多少时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？（A、B两孔的面积忽略不计）

    思路解析：用a、b表示流出的水中杂质的质量分数，找到a、b的关系，建立数学模型求最值.

    解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=,其中k＞0，为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小.

    根据题设有4b+2ab+2a=60(a＞0,b＞0),得b=(0＜a＜30).                          ①

    于是y===

    =≥

    =.

    当a+2=时，取等号，y达到最小值,这时a=6，a=-10（舍去）.

    将a=6代入①式，得b=3.

    故当a为6 m，b为3 m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

    解法二：依题意，当ab最大时，流出的水中该杂质的质量分数最小.

    由题设知4b+2ab+2a=60(a＞0,b＞0),即a+2b+ab=30(a＞0,b＞0).

    ∵a+2b≥2·,

    ∴2Equation.3+ab≤30,

    当且仅当a=2b时，上式取等号.

    设=t(t＞0),则ab=t2.∴t2+2t-30≤0.解得0＜t≤3.

    ∵ab=t2,∴0＜ab≤18,

    即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18.

    ∴2b2=18.

    解得b=3,a=6.

    故当a为6 m，b为3 m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

    评注：解法一观察到题目有“已知流出的水中含杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比”，这样建立函数关系y=(k＞0)，再利用箱体材料60 m2的限制得出4b+2ab+2a=60，这时，在条件4b+2ab+2a=60下，求y的最小值.

    解法二是考虑到“已知流出的水中含杂质的质量分数与ab成反比”.那么要求流出水中杂质的质量分数最小，只需求ab的最大值即可.解法二是最优解法.


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