Question

从数列{a_n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{a_n}的一个子数列．

设数列{a_n}是一个首项为a₁、公差为d(d≠0)的无穷等差数列．

(1)若a₁，a₂，a₅成等比数列，求其公比q．

(2)若a₁＝7d，从数列{a_n}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{a_n}的无穷等比子数列，请说明理由．

(3)若a₁＝1，从数列{a_n}中取出第1项、第m(m≥2)项(设a_m＝t)作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为{a_n}的无穷等比子数列，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题设，得，即，得，又，于是，故其公比．(4分) 　　(2)设等比数列为，其公比，，(6分) 　　由题设． 　　假设数列为的无穷等比子数列，则对任意自然数，都存在，使，即，得，(8分) 　　当时，，与假设矛盾，故该数列不为的无穷等比子数列．(10分) 　　(3)①设的无穷等比子数列为，其公比()，得，由题设，在等差数列中，，，因为数列为的无穷等比子数列，所以对任意自然数，都存在，使，即，得，由于上式对任意大于等于的正整数都成立，且，均为正整数，可知必为正整数，又，故是大于1的正整数．(14分) ②再证明：若是大于1的正整数，则数列存在无穷等比子数列． 即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项． 在等比数列中，，在等差数列中，，，若为数列中的第项，则由，得，整理得，由，均为正整数，得k也为正整数，故无穷等比数列中的每一项均为数列中的项，得证． 　　综上，当且仅当t是大于1的正整数时，数列存在无穷等比子数列．(18分)