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16.给出下列命题:
①设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围为[-1,1];
②A,B是抛物y2=2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB,则A、B两点的横坐标之积$\frac{p^2}{4}$;
③斜率为1的直线l与椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$相交于A、B两点,则|AB|的最大值为$\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$.
把你认为正确的命题的序号填在横线上①③.

分析 求出满足条件的斜率的范围,可判断①;根据向量垂直的充要条件,求出A、B两点的横坐标之积,可判断②;求出|AB|的最大值,可判断③.

解答 解:∵Q点为抛物线y2=8x的准线与x轴的交点,
∴Q点坐标为(-2,0)
∴设过Q(-2,0)的直线方程为y=k(x+2),即x=$\frac{y}{k}$-2
代入线y2=8x,化简得,y2-$\frac{8y}{k}$+16=0
若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则△≥0,
即$\frac{64}{{k}^{2}}$-64≥0,解得:k∈[-1,1],故①正确;
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y12=2px1,y22=2px2
∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,x1x2=-y1y2
则y12•y22=4p2•x1•x2=-4p2•y1•y2
∴y1•y2=-4p2,从而x1•x2=4p2;故②错误;
斜率为1的直线l与椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$相交于A、B两点,则AB过原点时,|AB|的最大值,
此时y=x,联立椭圆方程可得交点坐标为:($\frac{2\sqrt{5}}{5}$,$\frac{2\sqrt{5}}{5}$)和:(-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$),
则|AB|=$\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$.故③正确;
故答案为:①③

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了抛物线,椭圆的简单性质,向量垂直的充要条件,弦长公式等知识点是,难度中档.

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②命题“?x∈R,使得x2+3x+4=0”的否定是“?x∈R,都有x2+3x+4≠0”;
③将函数y=sin2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位,得到函数$y=sin({2x-\frac{π}{6}})$的图象.
其中是真命题的有①②(将你认为正确的序号都填上).

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6.有下列叙述:
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③函数y=f(x)是R上的偶函数,对?x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当x1、x2∈[0,3]且x1≠x2时,都有$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$<0,则函数x=-3是函数y=f(x)图象的一条对称轴;
④已知函数f(x)=x|x|,若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)成立,则实数t的取值范围是[$\sqrt{2}$,+∞).
其中所有正确叙述的序号是②③④.

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