【题目】一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数字a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)
【答案】
(1)解:由古典概型的概率计算公式得所求概率为
P= ,
(2)解:由题意知X的所有可能取值为1,2,3,且
P(X=1)= ,
P(X=2)= ,
P(X=3)= ,
所以X的分布列为:
X | 1 | 2 | 3 |
P |
所以E(X)=
【解析】第一问是古典概型的问题,要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数,然后代入古典概型概率计算公式即可,相对简单些;第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值,此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字(如1或2)或不同数字(1和2、1和3、2和3三类)的卡片,因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析,然后计算出每个随机变量所对应事件的概率,最后将分布列以表格形式呈现.
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【题目】为了增强消防安全意识,某中学对全体学生做了一次消防知识讲座,从男生中随机抽取50人,从女生中随机抽取70人参加消防知识测试,统计数据得到如下列联表:
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
男生 | 15 | 35 | 50 |
女生 | 30 | 40 | 70 |
总计 | 45 | 75 | 120 |
(Ⅰ)试判断是否有的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关;
附:
K2=
(Ⅱ)为了宣传消防安全知识,从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法,随机选出6名组成宣传小组,现从这6人中随机抽取2名到校外宣传,求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率.
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【题目】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个白球;至少有一个红球 B. 至少有一个白球;红、黑球各一个
C. 恰有一个白球;一个白球一个黑球 D. 至少有一个白球;都是白球
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【题目】从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[100,110),[110,120),[120,130)三组内的学生中,用分层抽样的方法选取28人参加一项活动,则从身高在[120,130)内的学生中选取的人数应为 .
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【题目】已知圆经过点A(-2,0),B(0,2),且圆心
在直线y=x上,又直线l:y=kx+1与圆
相交于P、Q两点.
(1)求圆的方程;
(2)若,求实数k的值;
(3)过点作动直线
交圆
于
,
两点.试问:在以
为直径的所有圆中,是否存在这样的圆
,使得圆
经过点
?若存在,求出圆
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=ln(ax+ )+
.
(1)若a>0,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在(0,+∞)上的最小值为1?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知向量,
,函数
的最小值为
(1)当时,求
的值;
(2)求;
(3)已知函数为定义在R上的增函数,且对任意的
都满足
问:是否存在这样的实数m,使不等式
+
对所有
恒成立,若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2 sin(
),直线C的极坐标方程为ρsinθ=1,射线θ=φ,θ=
+φ(φ∈[0,π])与曲线C1分别交异于极点O的两点A,B.
(I)把曲线C1和C2化成直角坐标方程,并求直线C2被曲线C1截得的弦长;
(II)求|OA|2+|OB|2的最小值.
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