Question

如图是函数

f

1

(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的一段图象，
（1）求f₁（x）的解析式；
（2）将函数f₁（x）的图象向右平移

π

4

个单位得到函数f₂（x）的图象，求y=f₁（x）+f₂（x）的最大值及此时的x的值．

Answer 1

分析：（1）欲求函数的解析式，关键是求出解析式中的四个变量A，B，ω，φ，这些量都可根据图象得到，ω可由周期得到，A，B可由最大最小值得到，等等；
（2）欲求函数的最大值，先由（1）得出此函数的解析式，再根据三角函数的性质解得．

解答：解：（1）由图知：T=

11π

12

-(-

π

12

)=π，于是ω=

2π

T

=2
有：f₁（x）=Asin（2x+φ），当x=0时，y=1，当x=

5π

12

时，y=0，
∴Asin（φ）=1，Asin（2×

5π

12

+φ）=0，
解得：A=2，?=

π

6

，
∴f₁（x）的解析式f1(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）将函数f₁（x）的图象向右平移

π

4

个单位得到函数f₂（x）的图象，
得：f2(x)=2sin[2(x-

π

4

)+

π

6

]=-2cos(2x+

π

6

)
∴y=2sin(2x+

π

6

)-2cos(2x+

π

6

)=2

2

sin(2x-

π

12

)
当 2x-

π

12

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

7π

24

，k∈Z时，ymnx=2

2

此时x的取值集合为 {x|x=kπ+

7π

24

，k∈Z}（13分）

点评：本题考查了由三角函数的图象求解析式的问题以及三角函数的图象与性质，属于中档题．三角函数的单调性与最大最小值问题是函数的重要性质，合理使用函数的性质，正确理解它们的含义，是熟练利用这些基本性质解综合问题的前提．