Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sin?x$+cos（?x+$\frac{π}{3}$）+cos（?x$-\frac{π}{3}$），x∈R，?＞0．若函数f（x）的最小正周期为π，
（1）求函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的值域；
（2）则当x$∈[0，\frac{π}{2}]$时，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的正弦、余弦公式化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的值域．
（2）利用正弦函数的减区间求得当x$∈[0，\frac{π}{2}]$时，f（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin?x+cos?x=2sin（?x+$\frac{π}{6}$）∵T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，故函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
再根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得函数的减区间为$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的减区间，属于中档题．