Question

若三棱锥V-ABC中，O为顶点V在底面ABC上的射影．在下列情形下：①VA=VB=VC；②VA，VB，VC两两垂直；③V到底边三角形的边AB、BC、AC的距离都相等；则点O分别对应①、②、③各为△ABC的（　　）

A．外心、垂心、内心

B．外心、重心、内心

C．内心、垂心、外心

D．重心、垂心、外心

Answer 1

分析：由已知中O为顶点V在底面ABC上的射影，则VO⊥底面ABC，由①可得OA=OB=OC，即O为三角形外接圆圆心；由②得O为三角形ABC三条高线的交点，即O为三角形的垂心；由③得O到三角形三边的距离相等，即O为三角形内切圆圆心；

解答：解：∵O为顶点V在底面ABC上的射影，则VO⊥底面ABC
若VA=VB=VC，则Rt△VOA≌Rt△VOB≌Rt△VOC，则OA=OB=OC，则O为三角形外心；
若VA，VB，VC两两垂直，则VA⊥BC，VO⊥BC，由线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面VOA，则BC⊥AO，即延长AO可得BC边上的高，故O为三角形垂心；
若V到底边三角形的边AB、BC、AC的距离VD，VE，VF都相等，则Rt△VOD≌Rt△VOE≌Rt△VOF，则OD=OE=OF，则O为三角形内心；
故选A

点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，三角形四心，熟练掌握棱锥的几何特征，并由此分析出O点在底面上的几何特征是解答的关键．