Question

已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线ax-y+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设圆心M的坐标为（m，0），且m是整数，由圆C与已知直线垂直，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出圆C的方程；
（2）由直线ax-y+5=0，表示出y，代入圆的方程消去y，得到关于x的一元二次方程，根据直线与圆有两个交点，得到根的判别式大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．
解答：解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z），
∵圆C与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，
∴圆心，到直线4x+3y-29=0的距离d=r，即=5，即|4m-29|=25，
∵m为整数，∴m=1，
则所求圆的方程为（x-1）²+y²=25；
（2）直线ax-y+5=0即y=ax+5，代入圆的方程，消去y整理得：
（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0，
∵直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，
∴△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，即12a²-5a＞0，
解得：a＜0或a＞，
则实数a的取值范围是（-∞，0）∪（，+∞）．
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，一元二次方程根的判别式与解的关系，一元二次不等式的解法，解题的关键是：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；将直线与圆的方程联立消去y后，得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程的解的个数决定了直线与圆交点的个数．