Question

5．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l₁和l₂分别与C交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．
（1）若a=4，b=3，且ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；
（2）若直线l₁的方程为bx-ay=0，l₁和l₂关于y轴对称，Γ上任意一点P到l₁和l₂的距离分别为d₁和d₂，证明：d₁²+d₂²=$\frac{2{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$；
（3）当ACBD为菱形，且圆x²+y²=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．

Answer 1

分析 （1）由题意，直线l₁和l₂的方程为y=x和y=-x，利用$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，可得x₁²=x₂²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，根据对称性，求出正方形的面积；
（2）利用距离公式，结合d₁²+d₂²为定值，即可证明结论；
（3）设出切线AC的方程与椭圆方程联立，分类讨论，即可求a，b满足的关系式．

解答 解：（1）由题意，直线l₁和l₂的方程为y=x和y=-x，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$的解，可得x₁²=x₂²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
根据对称性，正方形的面积S=4x₁²=$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$；
（2）设l₁的方程为y=kx（k≠0），l₂的方程为y=-kx，
设P（x₀，y₀），d₁²+d₂²=$\frac{（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}}{{k}^{2}+1}$+$\frac{（k{x}_{0}+{y}_{0}）^{2}}{{k}^{2}+1}$=$\frac{2（{k}^{2}-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}）{{x}_{0}}^{2}+2{b}^{2}}{{k}^{2}+1}$为定值，∴k=±$\frac{b}{a}$，
∴d₁²+d₂²=$\frac{2{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$；
（3）设AC与圆x²+y²=1相切的切点坐标为（x₀，y₀），于是切线AC的方程为x₀x+y₀y=1
A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）为x₀x+y₀y=1与椭圆联立的方程（b²y₀²+a²x₀²）x²-2x₀a²x+a²（1-b²y₀²）=0的解，
①x₀=0或y₀=0时，ACBD为正方形，椭圆过点（1，1），∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1；
②x₀≠0且y₀≠0时，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}{{y}_{0}}^{2}）}{{b}^{2}{{y}_{0}}^{2}+{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}}$，
同理y₁y₂=$\frac{{b}^{2}（1-{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}）}{{b}^{2}{{y}_{0}}^{2}+{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}}$，
∵ACBD为菱形，∴AO⊥CO，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}{{y}_{0}}^{2}）}{{b}^{2}{{y}_{0}}^{2}+{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}（1-{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}）}{{b}^{2}{{y}_{0}}^{2}+{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}}$=0，
∵x₀²+y₀²=1，∴a²+b²=a²b²，∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1．
综上所述，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．