Question

观察以下几个等式：
（1）C₂¹=C₁⁰C₁¹+C₁¹C₁⁰；
（2）C₄²=C₂⁰C₂²+C₂¹C₂¹+C₂²C₂⁰；
（3）C₆³=C₃⁰C₃³+C₃¹C₃²+C₃²C₃¹+C₃³C₃⁰，
归纳其特点可以获得一个猜想是：
C_2nⁿ=________．

Answer 1

解：观察以下几个等式：
（1）C₂¹=C₁⁰C₁¹+C₁¹C₁⁰；
（2）C₄²=C₂⁰C₂²+C₂¹C₂¹+C₂²C₂⁰；
（3）C₆³=C₃⁰C₃³+C₃¹C₃²+C₃²C₃¹+C₃³C₃⁰，
归纳其特点：组合数的下标是自然数数列，和式一共有n+1项，可以获得一个猜想是：
C_2nⁿ=C_n⁰C_nⁿ+C_n¹C_n^n-1+…+C_nⁿC_n⁰．
故答案为：C_n⁰C_nⁿ+C_n¹C_n^n-1+…+C_nⁿC_n⁰
分析：根据已知中的等式：C₂¹=C₁⁰C₁¹+C₁¹C₁⁰；C₄²=C₂⁰C₂²+C₂¹C₂¹+C₂²C₂⁰；C₆³=C₃⁰C₃³+C₃¹C₃²+C₃²C₃¹+C₃³C₃⁰，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．
点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）