Question

3．给出下列四个命题中：
①命题：$?x∈R，sinx-cosx=\sqrt{2}$； 
②函数f（x）=2^x-x²有三个零点；
③对?（x，y）∈{（x，y）|4x+3y-10=0}，则x²+y²≥4．
④已知函数$f（x）=x+\frac{1}{x}$，若△ABC中，角C是钝角，那么f（sinA）＞f（cosB）
其中所有真命题的序号是①②③④．

Answer 1

分析 求出sinx-cosx的值域，可判断①； 画出y=2^x，y=x²的图象，数形结合，可判断②；求出圆心到直线的距离，可判断③；利用函数的单调性，判断两个函数值的大小，可判断④．

解答 解：$sinx-cosx=\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，故①对；
画出函数y=2^x，y=x²的图象如下图，

可知②对；
圆x²+y²=4的圆心（0，0）到4x+3y-10=0的距离d=$\frac{|-10|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=2，
故?（x，y）∈{（x，y）|4x+3y-10=0}，均有x²+y²≥4，
故③正确，
因为$A+B＜\frac{π}{2}$，
故$\frac{π}{2}＞\frac{π}{2}-B＞A＞0$，
所以1＞cosB＞sinA＞0，
又因为f（x）在（0，1）上单调递减．
故f（sinA）＞f（cosB），即④正确；
故真命题的序号有：①②③④，
故答案为：①②③④．

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的值域，函数的图象，点到直线距离公式，点与圆的位置关系，函数的单调性等知识点，难度中档．