精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知直线l与椭圆C:交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=,其中O为坐标原点.
(Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值;
(Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求|OM|•|PQ|的最大值;
(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G,使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=?若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)根据已知设出直线l的方程,利用弦长公式求出|PQ|的长,利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离,根据三角形面积公式,即可求得x12+x22和y12+y22均为定值;
(Ⅱ)由(I)可求线段PQ的中点为M,代入|OM|•|PQ|并利用基本不等式求最值;(Ⅲ)假设存在D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2),使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
由(Ⅰ)得u2+x12=3,u2+x22=3,x12+x22=3;v2+y12=2,v2+y22=2,y12+y22=2,从而求得点D,E,G,的坐标,可以求出直线DE、DG、EG的方程,从而得到结论.
解答:解:(Ⅰ)1°当直线l的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称,
所以x1=x2,y1=-y2
∵P(x1,y1)在椭圆上,
     ①
又∵S△OPQ=
∴|x1||y1|=      ②
由①②得|x1|=,|y1|=1.此时x12+x22=3,y12+y22=2;
2°当直线l的斜率存在时,是直线l的方程为y=kx+m(m≠0),将其代入
(3k2+2)x2+6kmx+3(m2-2)=0,△=36k2m2-12(3k2+2)(m2-2)>0
即3k2+2>m2
又x1+x2=-,x1•x2=
∴|PQ|==
∵点O到直线l的距离为d=
∴S△OPQ==
又S△OPQ=
整理得3k2+2=2m2,此时x12+x22=(x1+x22-2x1x2=(-2-2=3,
y12+y22=(3-x12)+(3-x22)=4-(x12+x22)=2;
综上所述x12+x22=3,y12+y22=2.结论成立.

(Ⅱ)1°当直线l的斜率不存在时,由(Ⅰ)知
|OM|=|x1|=,|PQ|=2|y1|=2,
因此|OM|•|PQ|=
2°当直线l的斜率存在时,由(Ⅰ)知 =-=k+m==
|OM|2=(2+(2==
|PQ|2=(1+k2==2(2+),
所以|OM|2|PQ|2=×=(3-)(2+

=
|OM|•|PQ|.当且仅当=2+
即m=±时,等号成立.
综合1°2°得|OM|•|PQ|的最大值为

(Ⅲ)椭圆C上不存在三点D,E,G,使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
证明:假设存在D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2),使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
由(Ⅰ)得
u2+x12=3,u2+x22=3,x12+x22=3;v2+y12=2,v2+y22=2,y12+y22=2
解得u2=x12=x22=;v2=y12=y22=1.
因此u,x1,x2只能从±中选取,
v,y1,y2只能从±1中选取,
因此点D,E,G,只能在(±,±1)这四点中选取三个不同点,
而这三点的两两连线中必有一条过原点,与S△ODE=S△ODG=S△OEG=矛盾.
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D,E,G.
点评:此题是个难题.本题考查了直线与椭圆的位置关系,弦长公式和点到直线的距离公式,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力.其中问题(III)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知离心率为
2
2
的椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)过点M(
6
,1),O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,若直线l是圆O:x2+y2=
8
3
的一条切线,试证明∠AOB=
π
2
.它的逆命题成立吗?若成立,请给出证明;否则,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知离心率为
2
2
的椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
过点M(
6
,1)
,O为坐标原点
(1)求椭圆方程
(2)已知直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,若直线l是圆O:x2+y2=
8
3
的一条切线,求证:∠AOB=
π
2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线l与椭圆C:
x2
3
+
y2
2
=1
交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=
6
2
,其中O为坐标原点.
(Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值;
(Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求|OM|•|PQ|的最大值;
(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G,使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
?若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012年吉林省高考数学仿真模拟试卷3(理科)(解析版) 题型:解答题

已知离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(,1),O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,若直线l是圆O:x2+y2=的一条切线,试证明∠AOB=.它的逆命题成立吗?若成立,请给出证明;否则,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案