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已知，函数.
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若，试证明：“方程有唯一解”的充要条件是“”。
解：（Ⅰ）
当时，，∴单调递增区间为；
当时，，∴单调递减区间为；
（Ⅱ）记，
⑴充分性：若，则，
当时，在（0，1）上是单调递减函数；
当时，在上是单调递增函数．
∴当时，，即，当且仅当时取等号．
∴方程有唯一解．
⑵必要性：若方程有唯一解，即有唯一解．
令，得
∵∴（舍去），
当时，在上是单调递减函数；
∴当时，
∵有唯一解，∴．则即
∴，∵，∴
设函数∵在时是增函数，∴至多有一解．
∵，∴方程（*）的解为，即，解得
由⑴、⑵知，“方程有唯一解”的充要条件是“”
【解析】略
科目：高中数学 来源： 题型：
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，函数
.
时，求
的单调区间；
，试证明：“方程
有唯一解”的充要条件是“
”。
时，
，∴
单调递增区间为
；
时，
，∴
；
，
，则
，
时，
在（0，1）上是单调递减函数；
时，
在
上是单调递增函数．
时，
，即
，当且仅当
有唯一解．
有唯一解．
，得
∴
（舍去），
时，
上是单调递减函数；
时，
上是单调递增函数．
时，
．则
即
，∵
，∴
∵在
时
是增函数，∴
至多有一解．
，∴方程（*）的解为
，即
，解得
（2012•钟祥市模拟）如图，已知幂函数y=xa的图象过点P（2，4），则图中阴影部分的面积等于（ ）