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解答题:

如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.

(1)

求证AM//平面BDE;

(2)

求二面角A- DF- B的大小;

(3)

试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60°

答案:
解析:

(1)

  方法一:解:记AC与BD的交点为O,连接OE,

∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形,

∴四边形AOEM是平行四边形,∴AM∥OE.

平面BDE,平面BDE,∴AM∥平面BDE.

  方法二:建立如图所示的空间直角坐标系.

(2)

  方法一:在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连结BS,

∵AB⊥AF,AB⊥AD,

∴AB⊥平面ADF,∴AS是BS在平面ADF上的射影,

由三垂线定理得BS⊥DF.

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角.

RtΔASB中,

∴二面角A—DF—B的大小为60o.

  方法二:∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∴AB⊥平面ADF.

为平面DAF的法向量.

·=(·=0,

·=(·=0得

,∴为平面BDF的法向量.

∴cos<>=的夹角是60o,即所求二面角A—DF—B的大小是60o.

(3)

  方法一:解:设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,则PQ∥AD,

∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,

∴PQ⊥平面ABF,平面ABF,∴PQ⊥QF.

RtΔPQF中,∠FPQ=60o,PF=2PQ.

∵△PAQ为等腰直角三角形,∴∵ΔPAF为直角三角形,

,∴

所以t=1或t=3(舍去)即点P是AC的中点.

  方法二:设P(t,t,0)(0≤t≤)得

=(,0,0)又∵所成的角是60o.

解得(舍去),


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12
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