Question

如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围.

Answer 1

(1) 曲线C的方程为+y²=1 (2) λ＜1

解析:

(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，?

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4.

∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.

∴曲线C的方程为+y²=1.

(2)设直线l的方程为y=kx+2,

代入+y²=1,得(1+5k²)x²+20kx+15=0.

Δ=(20k)²－4×15(1+5k²)＞0,得k²＞.

由图可知=λ

由韦达定理得

将x₁=λx₂代入得

两式相除得

     ①

M在D、N中间，∴λ＜1                   ②

又∵当k不存在时，显然λ= (此时直线l与y轴重合).