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如图,为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且ODABQ为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线CQ点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;

(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点MN,且MDN之间,设=λ,求λ的取值范围.

(1) 曲线C的方程为+y2=1 (2) λ<1


解析:

(1)以ABOD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系,?

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2>|AB|=4.

∴曲线C为以原点为中心,AB为焦点的椭圆.

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.

∴曲线C的方程为+y2=1.

(2)设直线l的方程为y=kx+2,

代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.

Δ=(20k)2-4×15(1+5k2)>0,得k2.

由图可知=λ

由韦达定理得

x1=λx2代入得

两式相除得

     ①

MDN中间,∴λ<1                   ②

又∵当k不存在时,显然λ= (此时直线ly轴重合).

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(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;

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