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已知函数f(x)=x2+ax的最小值不小于-1,又当x∈[-
3
4
,-
1
2
]时,f(x)≤-
3
4

(1)求f(x)的解析式;
(2)已知a1=2,点(an,an+1)在f(x)的图象上,其中n∈N+求数列{an}的通项.
分析:(1)配方求出二次函数的最小值,由最小值大于等于-1解得a的范围,再由函数在区间
[-
3
4
,-
1
2
]的两个端点处的函数值小于等于-
3
4
求出a的范围,取交集得到a的值,则函数f(x)的解析式可求;
(2)把点(an,an+1)代入函数f(x)的解析式,整理后得到数列{lg(1+an)},是以lg3为首项,2为公比的等比数列,然后利用等比数列的通项公式求出数列{an}的通项.
解答:解:(1)f (x)=(x+
a
2
2-
a2
4
,∴-
a2
4
≥-1,故-2≤a≤2,由x∈[-
3
4
,-
1
2
]时,
f (x)≤-
3
4
得,
9
16
-
3
4
a≤-
3
4
,且
1
4
-
1
2a
≤-
3
4
,故a≥
7
4
且a≥2,则a=2,
故f (x)=x2+2x;
(2)由(an,an+1)在f(x)的图象上,得an+1=an2+2an,∴an+1+1=(an+1)2
两边取对数可得lg(1+an+1)=2lg(1+an),
又lg(1+a1)=lg(1+2)=lg3≠0.
∴数列{lg(1+an)},是以lg3为首项,2为公比的等比数列.
lg(1+an)=2n-1•lg3an=32n-1-1.
点评:本题考查了数列的函数特性,考查了函数解析式的常用求法,解答此题的关键在于配方后想到取对数,是中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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