Question

11．已知全集U=R，集合A={x|y=$\frac{1}{\sqrt{x-2}}$+lg（3-x）}，集合B={x|x²+（2-a）x-2a＜0}．
（1）求集合C_∪A．
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）的解析式可得不等式组，由此求得函数的定义域A，从而求得∁_UA．
（2）先求出集合B，若A∪B=A，则B⊆A，当B≠∅时，通过讨论a的范围，解得a的范围；当B=∅时，应有a=-2，由此解得a的范围．再把以上两个实数a的取值范围取并集，即得所求．

解答 解：（1）∵集合A={x|y=$\frac{1}{\sqrt{x-2}}$+lg（3-x）}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}{x+2＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，
即A=（2，3），
∴∁_UA=（-∞，2]∪[3，+∞）．
（2）集合B={x|x²+（2-a）x-2a＜0}，
∴（x+2）（x-a）＜0，
a＞-2时，解得：B=（-2，a），
a＜-2时，解得：B=（a，-2），
a=-2时，B=∅，
若A∪B=A，则B⊆A，再根据集合B={x|a＜x＜2a-1}，
故当B≠∅时，应有-2＜a≤2或a＜-2．
当B=∅时，应有a=-2．
综上可得，实数a的取值范围为（-∞，2]．

点评 本题主要考查求函数的定义域，集合间的包换关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．