Question

已知线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=3,点M满足2=.

(1)求动点M的轨迹E的方程.

(2)若曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分,求实数k的取值范围.

 

Answer 1

(1) +y2=1 (2) k≤-或k≥.

【解析】(1)设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),

则+=9,=(x-x0,y),=(-x,y0-y).

由2=,得解得

代入+=9,

化简得点M的轨迹方程为+y2=1.

(2)由题意知k≠0,

假设存在弦CD被直线l垂直平分,设直线CD的方程为y=-x+b,

由消去y化简得

(k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0,

Δ=(-8kb)2-4(k2+4)·4k2(b2-1)

=-16k2(k2b2-k2-4)>0,

k2b2-k2-4<0,

设C(x1,y1),D(x2,y2),CD中点P(xp,yp),

则x1+x2=,

xp==,

yp=-xp+b=-·+b=,

又yp=k(-1),

∴k(-1)=,得b=,

代入k2b2-k2-4<0,得-(k2+4)<0,

解得k2<5,∴-<k<.

∴当曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分时,k的取值范围是k≤-或k≥.