Question

在1，2，3，4，5中任取两个不同的数作为坐标构成的平面向量的集合为M．对M中的每一个向量，作与其大小相等且数量积为零的向量，构成向量集合V．分别在向量集合M、V中各任取一个向量

a

与向量

β

，其满足

α

•

β

＜0的概率是（　　）

• A．

  47

  100

• B．

  43

  80

• C．

  23

  50

• D．

  19

  40

Answer 1

分析：先计算出M中的元素个数，以及V中的元素个数，分别从两个集合中各取一个向量的取法是两个集合的元素个数的乘积，再研究

α

•

β

＜0得出使得其内积小0的取法种数，由公式计算出概率即可

解答：解：在1，2，3，4，5中任取两个不同的数作为坐标构成的平面向量的集合为M．故M中元素的个数是A₅²=20
对M中的每一个向量，作与其大小相等且数量积为零的向量，构成向量集合V．故V中也有40个元素，
分别在向量集合M、V中各任取一个向量

a

与向量

β

，所有的取法为20×40=800个
由于V中向量都是成对的相反向量，故所取的两个向量内积为正与内积为负的数目是相等的，由此只需要求出内积为0的数目，从总数中减去内积为0的数目后再除以2，即可得到内积小于0的种数下研究内积为0的数目
由集合V中元素的属性知，M中的每个元素在V中都对应着两个元素与它垂直，故有20×2=40个内积为0
观察M集合，其中向量坐标为（1，2）的向量还与（4，-2）（-4，2）垂直，同理（2，1），（2，4）（4，2）都还分别与V中两向量垂直，由此知，内积为0的向量被少计了8组，故分别在向量集合M、V中各任取一个向量

a

与向量

β

，其满中内积为0的数目是48个
由此，内积不为0的数目共有752组
所以分别在向量集合M、V中各任取一个向量

a

与向量

β

，其满足

α

•

β

＜0的数目有382个，其概率为

376

800

=

47

100

故选A

点评：本题考查等可能事件的概率，解答本题关键是正确求出总的基本事件数与满足内积为负的事件所包含的基本事件数，尤其是在求内积为负的事件所包含的基本事件数时，考查所有事件的类型是正确求出数目的关键，其中注意到M中元素有互相垂直的情况，对正确做题非常关键．分析问题时一定要把问题的类型分析清楚．本题考查分析转化的能力，易因为分析不清事件的类型而导致错误，本题比较抽象，题后应好好总结其中的关系．