Question

奥运会火炬传递准备在某省8个城市中选取6个制定传递路线，满足下列条件的方法各有多少种？
（1）甲乙两个城市只选1个，有多少种方法？有多少条不同的路线？
（2）甲乙两个城市至少选1个，有多少种方法？有多少条不同的路线？

Answer 1

分析：（1）①甲乙两个城市只选1个，属于有限制的组合问题，可分两步考虑，第一步，先从甲乙两个城市中选一个，再从剩下的6个城市中任选5个，最后把两步相乘即可．
②欲求有多少条不同的路线，只需把①中所选出的6个城市进行再全排列即可．
（2）①甲乙两个城市至少选1个，则可能选一个，也可能选两个，所以先分两类，第一类，甲乙两个城市选1个，则需再从剩余6个城市中选5个，第二类，甲乙两个城市都选，则需再从剩余的6个城市中再选4个，把两类的选法相加，就是总的选法．
②欲求有多少条不同的路线，只需把①中所选出的6个城市进行再全排列即可．

解答：解：（1）①分两步计算，第一步，先从甲乙2个城市中选一个，有C₂¹=2种不同的选法
第二步，从剩下的6个城市中任选5个城市，有C₆⁵=6种不同的选法
两步方法数相乘，共有2×6=12种不同的选法．
②不选出的城市再进行全排列，有12A₆⁶=8640条不同的路线．
（2）①分两类．第一类，甲乙两个城市之选一个，根据（1），有12种不同的选法，
第一类，甲乙两个城市都选，再从剩下的6个城市中选4个，有C₆⁴=15种选法
∴共有12+15=27种不同的选法
②不选出的城市再进行全排列，有27A₆⁶=19440条不同的路线．

点评：本题主要考查了分类计数原理与分步计数原理与排列组合的综合应用，做题时要分清何时用分类，何时用分步．