Question

（2011•沈阳二模）平面直角坐标系中，将曲线

x=4cosα y=sinα

（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C₁．以坐标原点为极点，x的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线C₂的方程为ρ=4sinθ，求C₁和C₂公共弦的长度．

Answer 1

分析：先求出变换后的C₁的参数方程，再求出对应的普通方程，再把C₂的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离
公式及弦长公式求出公共弦长．

解答：解：曲线

x=4cosα y=sinα

（α为参数）上的每一点纵坐标不变，
横坐标变为原来的一半得到

x=2cosα y=sinα

，然后整个图象向右平移1个单位得到

x=2cosα+1 y=sinα

，
最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到

x=2cosα+1 y=2sinα

，所以，C₁为； （x-1）²+y²=4，
又C₂为ρ=4sinθ，即x²+y²=4y，所以，C₁和C₂公共弦所在直线为2x-4y+3=0，
所以，（1，0）到2x-4y+3=0距离为

5

2

，所以，公共弦长为2

4- 5 4

=

11

．

点评：本题考查函数图象的变换，以及把极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．