Question

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC，A1A=

3

，AB=

2

，AC=2，A₁C₁=1，

BD

DC

=

1

2

．
（Ⅰ）证明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求二面角A-CC₁-B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCC₁B₁内一直线与平面A₁AD垂直，根据线面垂直的性质可知A₁A⊥BC，AD⊥BC，又A₁A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A₁AD，而BC?平面BCC₁B₁，满足定理所需条件；
（Ⅱ）作AE⊥C₁C交C₁C于E点，连接BE，由三垂线定理知BE⊥CC₁，从而∠AEB为二面角A-CC₁-B的平面角，过C₁作C₁F⊥AC交AC于F点，在Rt△BAE中，求出二面角A-CC₁-B的平面角即可．

解答：证明：（Ⅰ）∵A₁A⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁A⊥BC．在Rt△ABC中，AB=

2

，AC=2，∴BC=

6

，
∵BD：DC=1：2，∴BD=

6

3

，又

BD

AB

=

3

3

=

AB

BC

，
∴△DBA∽△ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．
又A₁A∩AD=A，∴BC⊥平面A₁AD，∵BC?平面BCC₁B₁，∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁．

（Ⅱ）如图，作AE⊥C₁C交C₁C于E点，连接BE，
由已知得AB⊥平面ACC₁A₁．∴AE是BE在面ACC₁A₁内的射影．
由三垂线定理知BE⊥CC₁，∴∠AEB为二面角A-CC₁-B的平面角．
过C₁作C₁F⊥AC交AC于F点，
则CF=AC-AF=1，C1F=A1A=

3

，∴∠C₁CF=60°．
在Rt△AEC中，AE=ACsin60°=2×

3

2

=

3

．
在Rt△BAE中，tanAEB=

AB

AE

=

2

3

=

6

3

．∴∠AEB=arctan

6

3

，
即二面角A-CC₁-B为arctan

6

3

．

点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角的平面角的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．