Question

【题目】若函数f（x）=lnx﹣x﹣mx在区间[1，e2]内有唯一的零点，则实数m的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[﹣1, ﹣1）∪{ ﹣1}
【解析】解：函数f（x）=lnx﹣x﹣mx在区间[1，e2]内有唯一的零点，

得﹣x+lnx=mx，又x＞0，所以m= ﹣1，

要使方程lnx﹣x﹣mx=0在区间[1，e2]上有唯一实数解，

只需m= ﹣1有唯一实数解，

令g（x）= ﹣1，（x＞0），∴g′（x）= ，

由g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0得x＞e，

∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数．

g（1）=﹣1，g（e）= ﹣1，g（e2）= ﹣1，

故﹣1≤m＜ ﹣1或m= ﹣1

所以答案是：[﹣1， ﹣1）∪{ ﹣1}．

【考点精析】利用函数的极值与导数和函数的零点与方程根的关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．