Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ（a＞0），且曲线C与直线l有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）设A、B为曲线C上的两点，且∠AOB= ，求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为 （t为参数），

∴直线l的普通方程是x+ ﹣3=0，

∵曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ（a＞0），

∴曲线C的直角坐标方程是（x﹣a）2+y2=a2，

依题意直线l与圆相切，则d= =a，

解得a=﹣3，或a=1，

∵a＞0，∴a=1．

（Ⅱ）如图，不妨设A（ρ1，θ），B（ρ2， ），

则ρ1=2cosθ， ，

|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2cosθ+2cos（ ）=3cosθ﹣ =2 cos（ ），

∴θ+ =2kπ，即 ，k∈Z时，|OA|+|OB|最大值是2 ．

【解析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程，依题意直线l与圆相切，由此能求出a的值．（Ⅱ）设A（ρ1，θ），B（ρ2， ），则|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2cosθ+2cos（ ）=3cosθ﹣ =2 cos（ ），由此能求出|OA|+|OB|的最大值．