Question

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），抛物线E以坐标原点为顶点，F₂为焦点．直线l过点F₂，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点若F₁B⊥F₂B，则|AF₂|-|BF₂|=

4

．

Answer 1

分析：根据题意，求出抛物线方程为y²=4x．设B（s，t），可得

F 1B

、

F 2B

关于s、t的坐标形式，根据

F 1B

•

F 2B

=0列式可得（s+1）（s-1）+t²=0．因为s、t满足t²=4s，所以联解可得s=

5

-2（舍负）．然后根据抛物线的性质，算出A的横坐标s′=

5

+2．最后由抛物线的定义分别算出|AF₂|=

5

+3且|BF₂|=（

5

-1），即可得到|AF₂|-|BF₂|的值．

解答：解：∵抛物线E以坐标原点为顶点，F₂（1，0）为焦点，
∴设B（s，t），可得

F 1B

=（s+1，t），

F 2B

=（s-1，t），
∵F₁B⊥F₂B，
∴

F 1B

•

F 2B

=（s+1）（s-1）+t²=0，…（*）
∵点B在抛物线y²=4x上，可得t²=4s
∴方程（*）化简成：s²+4s-1=0
解之得s=

5

-2（舍负），
根据抛物线的定义，可得|BF₂|=s+

p

2

=

5

-2+1=

5

-1
设点A的坐标为（s′，t′），可得s′=

p2 4

s

=

1

5 -2

=

5

+2
∴|AF₂|=s′+

p

2

=

5

+2+1=

5

+3
因此，|AF₂|-|BF₂|=

5

+3-（

5

-1）=4
故答案为：4

点评：本题给出抛物线和椭圆，给出抛物线的焦点弦AB，在已知F₁B⊥F₂B的情况下求|AF₂|-|BF₂|的值．着重考查了椭圆、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．