Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD为梯形，
AB∥CD，∠BAD=90°，且AB=2CD=2，AD=

2

，M、N分别为PD、PB的中点，平面MCN与PA交点为Q．
（Ⅰ）求证：CN∥平面PAD；
（Ⅱ）求PQ的长度；
（Ⅲ）求平面MCN与平面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：综合法：（Ⅰ）取AP的中点E，连接DE，EN，由已知得四边形CDEN为平行四边形，由此能证明CN∥平面PAD．
（Ⅱ）取EP的中点，即为所求点Q，连接MQ，NQ，由已知得四点C，N，Q，M共面，由此能求出PQ=1．
（Ⅲ）连接ME，则平面EMN∥底面ABCD，平面QMN与平面EMN所成二面角即为平面MCN与底面ABCD所成二面角，由此能求出平面MCN与底面ABCD所成二面角的大小．
向量法：（Ⅰ）以A为坐标原点，

AD

、

AB

、

AP

方向分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CN∥平面PAD．
（Ⅱ）由已知得CN∥平面PAD，CN∥MQ，设Q（0，0，t），利用向量法能求出PQ=1．
（Ⅲ）分别求出平面MCN的法向量和平面ABCD的法向量，利用向量法能求出平面MCN与底面ABCD所成二面角的大小．

解答： （本小题满分12分）
综合法：
（Ⅰ）证明：取AP的中点E，连接DE，EN，
因为E、N分别是AP、BP的中点，
所以EN∥AB，EN=

1

2

AB，又因为CD∥AB，CD=

1

2

AB．
所以EN∥CD，EN=CD，
即四边形CDEN为平行四边形．所以CN∥DE，CN不在平面PAD内，
所以CN∥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）解：取EP的中点，即为所求点Q，连接MQ，NQ．
因为MQ∥ED，故MQ∥CN，所以四点C，N，Q，M共面．
平面MCN与AP交点Q即为AP的四等分点，又因为AP=4，所以PQ=1．  …（8分）
（Ⅲ）解：连接ME，易证平面EMN∥底面ABCD．
平面QMN与平面EMN所成二面角即为平面MCN与底面ABCD所成二面角．
因为PA⊥平面ABCD，故PA⊥平面EMN，过E作EF⊥MN，垂足为F，连结QF，
则QF⊥MN，所以∠QFE为平面QMN与平面EMN所成二面角的平面角．
在直角三角形MEN中，则ME=

2

2

，EN=1，MN=

6

2

，从而EF=

3

3

，
所以tan∠QFE=

3

，故∠QFE=

π

3

．
所以平面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为

π

3

．                      …（12分）
向量法：
（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，

AD

、

AB

、

AP

方向分别为x轴、y轴和z轴的正方向，
建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），D(

2

，0，0)，B（0，2，0），C(

2

，1，0)，
P（0，0，4），M(

2

2

，0，2)，N（0，1，2）．
由题意知

AB

是平面PAD的法向量，
又因为

CN

•

AB

=(-

2

，0，2)•(0，2，0)=0，
所以CN⊥AB，又因为CN不在平面PAD内，所以CN∥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CN∥平面PAD，又CN在平面CNQM内，
平面CNQM与平面PAD的交线是MQ，所以CN∥MQ．
设Q（0，0，t），

MQ

=λ

CN

，
得(-

2

2

，0，t-2)=λ(-

2

，0，2)，
解得t=3，所以PQ=1．…（8分）
（Ⅲ）解：设平面MCN的法向量

n

=(x，y，z)．
由

MN • n =- 2 2 x+y=0 MC • n = 2 2 x+y-2z=0

，取y=1，得

n

=(

2

，1，1)…（10分）
又知平面ABCD的法向量为

m

=(0，0，1)
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

1• ( 2 )2+12+12

=

1

2

即平面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为

π

3

． …（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查线段长的求法，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．