Question

17．对于n∈N^*，n≥2，求证：1+$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＜2-\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）验证当n=2时不等式成立；
（2）假设n=k时不等式成立，由不等式的放缩法证明当n=k+1时不等式也成立，由数学归纳法可得结论．

解答 证明：（1）当n=2时，左边=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$＜$\frac{3}{2}$=2-$\frac{1}{2}$=右边；
（2）假设n=k时不等式成立，即1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$＜2-$\frac{1}{k}$，
则当n=k+1时，左边=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜2-$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$
＜2-$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{k（k+1）}$=2-$\frac{（k+1）-1}{k（k+1）}$=2-$\frac{1}{k+1}$=右边
即n=k+1时时不等式成立；
综合（1）（2）可得对一切于n∈N^*，n≥2命题成立．

点评 本题考查数学归纳法证明不等式，属中档题．