【题目】已知平面内点到点
的距离和到直线
的距离之比为
,若动点P的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程;
(II)过F的直线与C交于A,B两点,点M的坐标为
设O为坐标原点.证明:
.
【答案】(I)(II)见解析
【解析】
(I)根据题目点到点
的距离和到直线
的距离之比为
,列出相应的等式方程,化简可得轨迹C的方程;
(II)对直线分
轴、l与x轴重合以及l存在斜率且斜率不为零三种情况进行分析,当l存在斜率且斜率不为零时,利用点斜式设直线方程,与曲线C的方程进行联立,结合韦达定理,可推得
,从而推出
。
解:(I)∵到点
的距离和到直线
的距离之比为
.
∴,
.
化简得:.
故所求曲线C的方程为:.
(II)分三种情况讨论:
1、当轴时,由椭圆对称性易知:
.
2、当l与x轴重合时,由直线与椭圆位置关系知:
3、设l为:,
,且
,
,
由化简得:
,
∴,
设MA,MB,所在直线斜率分别为:,
,则
此时,.
综上所述:.
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【题目】假设有5个条件类似的女孩(把她们分别记为A,B,C,D, E)应聘秘书工作,但只有2个秘书职位,因此5个人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等,分别计算下列事件的概率;
(1)女孩A得到一个职位;
(2)女孩A和B各得到一个职位;
(3)女孩A或B得到一个职位.
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【题目】已知离心率为的椭圆C:
(a>b>0)的左焦点为
,过
作长轴的垂线交椭圆于
、
两点,且
.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)设O为原点,若点A在直线上,点B在椭圆C上,且
,求线段AB长度的最小值.
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【题目】己知点A是抛物线的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足
,当
取最大值时,点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为
A. B.
C.
D.
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【题目】某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.经试销调查,发现销售量(件)与销售单价
(元/件)可近似看作一次函数
的关系(如图所示).
(1)由图象,求函数的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价﹣成本总价)为元.试用销售单价
表示毛利润
,并求销售单价定为多少时,该公司获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?
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【题目】如果l是空间中的一条直线,是空间中的一个平面,判断下列命题的真假.
(1)l与要么相交,要么不相交;
(2)要么l在内,要么l在
外;
(3)要么l与平行,要么l在
内.
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【题目】中国已经成为全球最大的电商市场,但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道.某机构随机抽取了年龄介于10岁到60岁的消费者200人,对他们的主要购物方式进行问卷调查.现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计,得到如下图表:
主要购物方式 年龄阶段 | 网络平台购物 | 实体店购物 | 总计 |
40岁以下 | 75 | ||
40岁或40岁以上 | 55 | ||
总计 |
(1)根据已知条件完成上述列联表,并据此资料,能否在犯错误的概率不超过的前提下,认为消费者主要的购物方式与年龄有关?
(2)用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人,然后再从这8名消费者中抽取5名进行答谢.设抽到的消费者中40岁以下的人数为,求
的分布列和数学期望.
参考公式:,其中
.
临界值表:
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