Question

【题目】已知函数f（x）=x+ 是奇函数．
（1）若点Q（1，3）在函数f（x）的图象上，求函数f（x）的解析式；
（2）写出函数f（x）的单调区间（不要解答过程，只写结果）；
（3）设点A（t，0），B（t+1，0）（t∈R），点P在f（x）的图象上，且△ABP的面积为2，若这样的点P恰好有4个，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=x+ 是奇函数，则f（x）+f（﹣x）=0恒成立，即x+ b=0．∴f（x）=x+ （a＞0）．

∵Q（1，3）在函数f（x）的图象上，∴1+a=3，∴a=2，∴f（x）=x+ ．（x≠0）．

（2）解：f（x）=x+ （a＞0）．的增区间为：（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞）；减区间为：（﹣ ，0），（0， ）．

（3）解：∵点A（t，0），B（t+1，0）（t∈R）在横轴上，且AB=1，

∴在f（x）的图象上恰好有4个点，使△ABP的面积为2在f（x）的图象上恰好有4个点到横轴的距离等于4，

如图所示，函数f（x）的图象与y=4，y=﹣4各有两个交点，即f（x）min＜4，2 ＜4，解得0＜a＜4．

∴实数a的取值范围为：（0，4）．

【解析】（1）f（x）+f（﹣x）=0恒成立，可得b=0．Q（1，3）在函数f（x）的图象上，可得a=2即可． （2）由对勾函数图象可得；（3）在f（x）的图象上恰好有4个点，使△ABP的面积为2在f（x）的图象上恰好有4个点到横轴的距离等于4，即f（x）min＜4，2 ＜4，解得a．