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【题目】如图,直线轴,轴分别相交于点BC,经过BC两点的抛物线轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴为直线.

1)求该抛物线的函数表达式;

2)连结AC.请问在轴上是否存在点Q,使得以点PBQ为顶点的三角形与ABC 相似,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=x2-4x+3;(2)存在,(00),(0

【解析】

1)先由直线解析式求出BC两点坐标,再根据对称轴为直线可求出点A的坐标,ABC三点坐标代入,可得抛物线的函数式;(2)设抛物线的对称轴交x轴于点M,由可知,由可知,由相似三角形对应边的比相等可求出点Q

解:(1)∵直线y=-x+3x轴相交于点B,∴当y=0时,x=3.

∴点B的坐标为.

又∵抛物线过x轴上的AB两点,且对称轴为x=2

根据抛物线的对称性,∴点A的坐标为(10).

y=-x+3过点C,易知,∴c=3.

又∵抛物线过点

解得

2)设在x轴上存在点Q.连结PB,由,得.

设抛物线的对称轴交x轴于点M.

RtPBM中,PM=MB=1,∴△PBM为等腰直角三角形..

由点,可得OB=OC=3,∴△OBC为等腰直角三角形..

由勾股定理,得.

假设在x轴上存在点Q,使得以点PBQ为顶点的三角形与ABC相似.

①当,∠PBQ=ABC=45°时,PBQ∽△ABC.

,∴BQ3.Q1的坐标是(00).

②当,∠QBP=ABC=45°时,QBP∽△ABC

,∴QB.Q2的坐标是(0.

由题意知点Q不可能在B点右侧的x轴上.综上所述,在x轴上存在两点Q1(00)Q20

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依据上述数据制成如下列联表:

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0

π

x

0

2

0

0

1)请根据上表数据,写出函数的解析式;(直接写出结果即可)

2)求函数的单调递增区间;

3)设,已知函数在区间上的最大值是img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/11/26/20/139c9676/SYS202011262014544768390673_ST/SYS202011262014544768390673_ST.013.png" width="24" height="24" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,求t的值以及函数在区间[上的最小值.

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